Resúmen El objetivo de este artículo es describir y analizar los elementos constitutivos de las Trayectorias Hipotéticas de Aprendizaje (THA), desarrolladas por profesores que enseñan matemáticas, en un contexto para la formación de profesores de matemáticas. La recopilación de datos se basó en las producciones escritas de ocho THA elaboradas en el contexto de un taller de educación continua. La investigación tiene un carácter cualitativo y se basa en el análisis de contenido. Los resultados indican que: los docentes presentaron estrategias y procedimientos de la matemática escolar; los elementos constitutivos del THA elaborada son similares a sus prácticas escolares; y estos elementos están asociados con los dominios del conocimiento matemático para la enseñanza. La preparación de THA por parte de los profesores de matemáticas es una oportunidad para la formación del profesorado, en la que las demandas matemáticas y pedagógicas se configuran como un contexto de discusiones, problematizaciones y producciones de conocimientos matemáticos para la enseñanza.

Resumo O objetivo deste artigo é descrever e analisar os elementos constituintes das Trajetórias Hipotéticas de Aprendizagem (THA), elaboradas por professores que ensinam matemática, em um contexto de formação continuada. A recolha de dados se baseou nas produções escritas de oito THA elaboradas no âmbito de uma oficina de formação continuada. A pesquisa tem caráter qualitativo e interpretativo e se baseia na análise de conteúdo. Os resultados indicam que: os docentes apresentaram estratégias e procedimentos da matemática escolar comumente trabalhada na Educação Básica; os elementos constituintes das THA elaboradas se aproximam de suas práticas escolares; e estes elementos se associam aos domínios do conhecimento matemático para o ensino. A elaboração de THA realizada por professores de matemática se mostra como uma oportunidade para formação docente, na qual demandas matemáticas e pedagógicas se configuram como cenário para discussões, problematizações e produções de conhecimentos matemáticos para o ensino.

Abstract The purpose of this article is to describe and analyze the constituent elements of Hypothetical Learning Trajectories (HLT), developed by teachers who teach mathematics, in a context of in-service teacher education. The data collection was based on the written productions of 8 HLT elaborated in the context of an in-service teacher education workshop. The research has a qualitative and interpretative character, and it is based on content analysis. The results indicate that: the teachers presented strategies and procedures of school mathematics; the constituent elements of the elaborated HLT are similar of their school practices; and these elements are associated with the domains of mathematical knowledge for teaching. The preparation of HLT by mathematics teachers is an opportunity for teacher education, in which mathematical and pedagogical demands are configured as a context for discussions, problematizations and productions of mathematical knowledge for teaching.

Resumo: Investigam-se maneiras de lidar de alunos da educação básica com problemas abertos de matemática. Para isso, seis problemas abertos de matemática foram aplicados em duas turmas do 9º ano do ensino fundamental e duas turmas do 3º ano do ensino médio de uma escola pública. Por meio de uma abordagem qualitativa de pesquisa, analisou-se a multiplicidade das resoluções dos alunos e evidenciaram-se suas singularidades. A análise mostrou uma variedade de estratégias apresentadas pelos alunos ao resolverem os problemas. Essas estratégias são muito singulares, elaboradas por modos idiossincráticos de os alunos lerem o enunciado do problema, implementarem uma maneira de lidar com ele e construírem um processo de resolução. Diante dessas singularidades, foi identificada uma multiplicidade de resoluções, diversos e diferentes modos de resolução dos problemas. Ao resolverem problemas abertos, a atividade matemática dos alunos se dá por meio de processos que são, muitas vezes, pouco observados pelos professores. Nessa direção, a análise da produção escrita mostra-se como possibilidade de olhar para as maneiras de lidar dos alunos, de modo a não caracterizá-los pela falta, pontuando o que não foi feito ou aquilo que deveria ter sido feito.

Abstract: This article investigates how students from basic education deal with open-ended mathematics problems. To achieve this objective, six open-ended mathematics problems were applied in two classes of the 9th grade of elementary school and in two classes of the 3rd year of high school. By means of a qualitative research, it was analyzed the students’ multiplicity of resolutions and it were evidenced their singularities. The analysis showed a variety of strategies presented by students to solve problems. These strategies are very unique, developed by idiosyncratic ways of the students to read the statements of the problems, implement a way to deal with them and construct a settlement process. Facing these singularities, it was identified a variety of resolutions, several different ways by which the students solve problems. To solve open-ended mathematics problems, the mathematical activity of the students occurs by means of processes that are often little observed by teachers. In this direction, the analysis of written production shows up as a possibility to look for ways how students deal with mathematics problems, not characterizing them by punctuating what they didn’t or what they should have done.

Resumo Neste ensaio apresentamos uma discussão de um processo de teorização em Educação Matemática. Na primeira parte, construímos um movimento de teorização a respeito da formação matemática de futuros professores de Matemática, por meio da textualização de uma entrevista. Esse movimento se constitui como resultado de um relato sistematizado de uma experiência, um exemplo exemplar para nossas discussões, bem como um pano de fundo para os delineamentos que realizamos na segunda parte. Nesta, esboçamos algumas ideias de uma Educação Matemática que falamos e nossas atitudes teórico-metodológicas, o Modelo dos Campos Semânticos e a História Oral, que sustentam e dão forma a esse processo de teorização. Tecemos algumas características a respeito de uma estética de pesquisa em Educação Matemática no que se refere ao processo de teorizar.

Abstract In this essay, we show a discussion about a process of theorization in Mathematics Education. In the first part, by means of an interview textualization, we elaborated a theorization movement about mathematical preparation of prospective mathematics teachers. This movement is a result of a systematized narrative of an experience, an exemplary example to our discussions and a backdrop to our arguments at the second. In the second part, we outlined some ideas about the Mathematics Education that we talk and our theory-methodological attitudes, the Model of Semantic Fields and the Oral History, which sustain and shape this process of theorization. We point out some characteristics about an aesthetic of research in Mathematics Education regarding the process of theorization.